5. Equação Logarítmica
Equação logarítmica é toda equação que apresenta incógnita nos logaritmos nela envolvidos.
Vamos desenvolver o nosso aprendizado através de exemplos resolvidos.
1o) Modelo
Usando a definição.
1o exemplo
Resolver a equação: log3 (x – 5) = 2
– condição de existência: x – 5 > 0 
x > 5.
– pela definição: x – 5 = 32 
x – 5 = 9
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x = 14 |
– verificação: como o valor obtido atende à condição de existência, 14 representa a solução da equação. Assim:
|
S = {14} |
2o exemplo
Resolver a equação: logx16 = 2
– condições de existência: x > 0 e x 
1
– pela definição: x2 = 16 Þ x = – 4 ou x = 4
– verificação: somente x = 4 atende às condições de existência. Assim:
|
S = {4} |
2o) Modelo
Igualdade de dois logaritmos de mesma base
Resolver a equação: log7(x2 – 4) = log7 (3x)
– condições de existência:
x2 – 4 > 0 Þ x < – 2 ou x > 2
3x > 0 Þ x > 0.
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x > 2 |
– usando o fato de que a função logarítmica é injetora, temos que se log7 (x2 – 4) =log7 (3x), então x2 – 4 = 3x. Resolvendo essa equação do 2o grau, temos: x = –1 ou x = 4.
– verificação: somente x = 4 atende às condições de existência. Assim:
|
S = {4} |
3o) Modelo
Usando mudança de variável.
Resolver a equação: (log x)2 – log x –2 = 0
– condição de existência: x > 0.
fazendo log x = y, temos: y2 – y – 2 = 0.
Resolvendo-se essa equação do 2o grau, teremos y = –1 ou y = 2.
Como log x = y, temos
log x = – 1 Þ x = 10–1 Þ x = 
ou
log x = 2 Þ x = 102 Þ x = 100
– verificação: como os valores obtidos atendem as condições de existência, e 100 são as soluções dessa equação.
Assim:
4o) Modelo
Utilizando as propriedades.
Resolver a equação: log4 3 + log4 (x – 2) = log4 9
– condição de existência: x – 2 > 0 Þ x > 2.
– usando a propriedade da soma de logaritmos de mesma base, temos:
log4[3(x – 2)] = log4 9 Þ 3 (x – 2) = 9 Þ
3x – 6 = 9 Þ 3x = 15 Þ x = 5
– verificação: como o valor obtido atende à condição de existência, 5 é a solução dessa equação. Assim:
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S = {5} |
Existe ainda um 5o modelo que será apresentado no próximo módulo.
Exercícios Resolvidos
01. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números:
a) log 2, log 5 e log 5 – log 2
b) log 2, log 5 e log 5 : log 2
c) log 2, log 5 e log 25
d) 5/2 e log 5/2
e) 
e log
Resolução
Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos:
log 2x = log 5
x · log 2 = log 5 Þ x = 
Resposta: B
02. (FGV-SP) A equação logarítmica
log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3 admite:
a) uma única raiz irracional.
b) duas raízes opostas.
c) duas raízes cujo produto é – 4.
d) uma única raiz e negativa.
e) uma única raiz e maior do que 2.
Resolução
Condição de existência:
x + 1 > 0 Þ x > – 1 ; x – 1 > 0 Þ x > 1.
Assim x > 1
log2 (x + 1) · (x – 1) = 3
log2 (x2 – 1) = 3 Þ x2 – 1 = 23 Þ x2 – 1 = 8
x = 3
Resposta: E
03. (Cesgranrio-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de
log2 x – log x2 = 0 é:
a) – 1
b) 1
c) 20
d) 100
e) 101
Resolução
Condição de existência: x > 0
log2 x – log x2 = 0 log2 x – 2 log x = 0
Fazendo log x = y, obteremos:
y2 – 2y = 0 y(y – 2) = 0 y = 0 ou y = 2
log x = 0 x = 1
log x = 2 x = 100
a soma das raízes será 101. S = {101}
Resposta: E
