Logaritmos - Propriedades

4. Propriedades

A partir da definição, podemos desenvolver algumas utilizações freqüentes dos logaritmos e transformá-las em propriedades que passaremos a estudar.

Considerando os números reais positivos a, N e M, com a  1 e ainda os números naturais não-nulos n em, temos:

Demostração

Sejam:

Comparando as equações (I), (II) e (III), temos:

a^a = N · M Þ a^a = a^b · a^g Þ

Þ a^a = a^b+g Þ a = b + g

Portanto:

O logaritmo do produto de dois ou mais fatores numa determinada base a é igual à soma dos logaritmos desses fatores na base a.

Sejam:

Comparando as equações (I), (II) e (III), temos:

a^a = N : M  a^a = a^b : a^g 

 a^a = a^b–g   =  – g

Portanto:

O logaritmo do quociente de dois números numa determinada base a é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor, respectivamente, na base a.

Observação – Vamos observar uma aplicação particular da 2^a propriedade, calculando o logaritmo do inverso de um número real maior que zero:

Como logaritmo do número 1 em qualquer base é igual a zero, temos:

  = – N.

Assim, temos que o logaritmo do inverso de um número real positivo, numa determinada base a, é igual ao logaritmo do número na base a, porém com o sinal trocado. O logaritmo do inverso de um número real positivo é chamado de cologaritmo.

P₃: log_aN^m = m · log_aN

Sejam:

log_aN^m =   a^a = N^m (I)

log_aN =   a^b = N (II)

Comparando as equações (I) e (II), temos:

a^a = N^m  a^a = (a^b)^m  a^a = a^{m ·b} 

 = m · 

Portanto:

O logaritmo de uma potência numa determinada base a é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência na base a.