Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
- pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
- retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
- planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
 |
 |
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
Temos que considerar dois casos particulares:
- retas perpendiculares:
- retas ortogonais:
|
|
|
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P 
r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
 |
 |
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
- uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
- duas retas distintas concorrentes:
- duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano 
, então r está contida nesse plano:
|
|
|
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando 
.
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .
Note que:
-
se uma reta r é perpendicular a um plano
, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :
- para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
|
|
|
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:
|
|
|
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, 
, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:
|
|
|
c) planos paralelo
Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:
|
|
|
Perpendicularismo entre planos
Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
|
|
|
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
Distâncias
| A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano: |
|
| A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano: |
|
| A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano: |
|
| A distância entre duas retas reversas,r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta: |
|
Ângulos
| O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra: |
|
| O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano: |
|
Observações:
Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
Ângulo poliédrico
Sejam n 
semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
|
|
|
|
|
|
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
-
tetraedro: quatro faces
-
pentaedro: cinco faces
-
hexaedro: seis faces
-
heptaedro: sete faces
-
octaedro: oito faces
-
icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
|
Poliedro |
Planificação |
Elementos |
|
Tetraedro |
|
4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas |
|
Hexaedro |
|
6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas |
|
Octaedro |
|
8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas |
|
Dodecaedro |
|
12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas |
|
Icosaedro |
|
20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas |
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
|
V=8 A=12 F=6 8 - 12 + 6 = 2 |
V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2
|
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
