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Geometria Espacial - Introdução
Geometria Espacial - Introdução

 

Conceitos primitivos

     São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

  • pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

  • retas: letras minúsculas do nosso alfabeto


   

  • planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

                           

 

Axiomas

      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

 

Postulados sobre pontos e retas

P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

                                       

P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

 

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

 

 

Postulados sobre o plano e o espaço

 

P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

 

 

P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

 

P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

 

 

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

 

P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

 

 

 

Posições relativas de duas retas

 

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

 

 

 

 

 


 Temos que considerar dois casos particulares:

 

  • retas perpendiculares: 

 

 

  •  retas ortogonais: 

 

 

 

Postulado de Euclides ou das retas paralelas   

P10) Dados uma reta  r e um ponto P  r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:      

                                        

   
Determinação de um plano

              Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:

  • uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

                                                                                 

  • duas retas distintas concorrentes:

                                                                                     

  • duas retas paralelas distintas:

 

Posições relativas de reta e plano

      Vamos considerar as seguintes situações:

a) reta contida no plano

     Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

 

b) reta concorrente ou incidente ao plano

    Dizemos que a reta r "fura" o plano  ou que r e  são concorrentes em P quando .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.

c) reta paralela ao plano

    Se uma reta r e um plano  não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r // 

Em  existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

 

 

Perpendicularismo entre reta e plano

 

         Uma reta r é perpendicular a um plano  se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de  que passam pelo ponto de intersecção de r e .

 

 

Note que:

 

  • se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

 

 

 

  • para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :

 

 

Observe, na figura abaixo, por que não basta que seja perpendicular a uma única reta de  para que seja perpendicular ao plano:

 

 

 

 

Posições relativas de dois planos

 

          Consideramos as seguintes situações:

 

a) planos coincidentes ou iguais

 

 

b) planos concorrentes ou secantes

 

     Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:

 

 

c) planos paralelo

 

    Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:

 

 

 

 

Perpendicularismo entre planos

     Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projeção ortogonal

     A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano  é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

      A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano  é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

      A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:

      A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:

      A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:

      A distância entre duas retas reversas,r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

 

Ângulos

      O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:

      O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:

Observações:

 

Diedros, triedos, poliedros

Diedros

      Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

         Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

 

 

Ângulo poliédrico

      Sejam  n  semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros

      Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

      Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
   

Poliedros convexos e côncavos

      Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

        Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
   

Classificação

      Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

  • tetraedro: quatro faces

  • pentaedro: cinco faces

  • hexaedro: seis faces

  • heptaedro: sete faces

  • octaedro: oito faces

  • icosaedro: vinte faces

 

 

Poliedros regulares

 

      Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

 

       Existem cinco poliedros regulares:

 

Poliedro

Planificação

Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas

Octaedro

8 faces triangulares

6 vértices

12 arestas

Dodecaedro

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas

Icosaedro

20 faces triangulares

12 vértices

30 arestas

 

 

    Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

V=8   A=12    F=6

8 - 12 + 6 = 2

V = 12  A = 18   F = 8

12 - 18 + 8 = 2

 

 

Poliedros platônicos

      Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

       Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

  

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